EDUC-2060: Uso de la Tecnología en la Educación - PRONTUARIO © 2009 Edgar Lopategui Corsino

El término conjunto implica una colección de objetos, cuyo contenido puede ser claramente definido. En matemática, nos referimos a una colección de números. A los constituyentes de un conjunto se le asigna el nombre de elementos o miembros. Para describir a un conjunto se utilizan las llaves: { }. Se emplea una letra mayúscula para nombrar al conjunto. Por ejemplo,

representa el conjunto nombrado C, el cual se encuentra compuesto de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cuando un conjunto de números está integrado de elementos fijos, se dice que es finito. Por el otro lado, si tal conjunto no poseen números fijos, entonces se considera como un conjunto de elementos infinitos. En la notación de conjunto, al emplear tres puntos suspensivos al final del último elemento, se infiere que existe una repetición del patrón, es decir, que continúa la enumeración de tales elementos hasta el infinito. Para ilustrar esto, mostramos el conjunto A que se escribe como:

Obsérvese los tres puntos suspensivos (elipsis) luego del número 9, lo cual significa que se repite el patrón. Partiendo del ejemplo anterior, decimos que utilizamos una notación de listado cuando los elementos de un conjunto se enumeran parcialmente, es decir, son infinitos. Otra manera de emplear los tres puntos suspensivos en una notación de conjuntos es para indicar hasta qué elemento llega el conjunto. Por ejemplo, el conjunto B que incluye los números entre el 24 y el 36, se expresa de la siguiente manera:

Podemos notar que los números 24 y 36 se encuentran excluidos de este conjunto. Otra forma para describir conjuntos se conoce como notación descriptiva. Aquí, se utiliza una letra, o variable, para representar algún grupo de números. Luego, se coloca una descripción de los números que representan dicha variable. Por ejemplo, el conjunto

Podemos leer esta notación descriptiva como "D es el conjunto de los números x, tal que x es un número natural menor que 79." Obsérvese, que en este tipo de notación de conunto el elemento numérico 79 no es parte del tal conjunto.

Símbolos Utilizados en la Teoría de Conjuntos

La Teoría de Conjuntos utiliza varios símbolos que abrevian ciertas explicaciones. La siguiente tabla describe estos símbolos matemáticos. El símbolo

SÍMBOLOS UTILIZADOS EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS

	es un miembro de	no en un miembro de
	es un subconjunto de	no es un subconjunto de
=	igual	no es igual
	conjunto vacío

El Conjunto de los Números Reales se encuentra integrado por los siguientes subconjuntos: 1) números naturales, 2) números cardinales, 3) números enteros, 4) números racionales y 3) números irracionales. Los números reales son los más usados en la vida diaria y ocupacional, pues denotan cantidades (Ej: peso corporal). En este conjunto numérico, se observan expresiones decimales, vía un entero, decimal exacto, decimal periódico o decimal infinito no periódico. En los siguientes párrafos se discutarán los subconjuntos de los números reales.

Los conjuntos numéricos son una colección de conjuntos, que incluyen los números naturales (N), cardinales (W), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (I) y, finalmente, reales (R). Como fue mencionado previamente, este último conjunto posee otros subconjuntos que son los naturales (y ordinales), cardinales, enteros, racionales, irracionales. A continuación se habrán de explicar cada uno de tales conjuntos de números.

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar. Éstos representan los números más simples, comúnmente empleados en nuestra vida cotidiana y laboral. Los números naturales se denotan por el símbolo N y se encuentran constituídos por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc. En Notación de Conjunto.tal conjunto se describe como:

Obsérvese, que los puntos suspensivos implican que este conjunto de números continúan, es decir, son infinitos (nunca terminan). También, a este conjunto se le conoce como los Números Enteros Positivos. Los números naturales proporcionan la base para el desarrollo de otros conjuntos de números, así como para la consideración de varios usos de los números.
         Los números naturales corresponden a los números desde el 1 al infinito. Dentro de los naturales tenemos algunos subconjuntos, a seber: 1) números pares, 2) números impares, 3) números primos y 4) números compuestos. Los números naturales que pueden dividirse exactamente por 2, es decir, la división tiene un residuo de 0, se llaman los números naturales pares. Estos son los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Por el otro lado, los números naturales que no pueden ser divididos exactamente por 2, se conocen como los números impares. Un número primo es un número natural mayor que 1, cuyos factores son el 1 y él mismo. Los número primos son 2, 3, 5, 7. 11, 13, 17, 19, 23, 29, entre otros. En el otros extremo, encontramos un número compuesto, el cual consiste de un número natural mayor que 1 que no es primo.
         Los números naturales pueden utilizarse como números cardinales de conjuntos finitos de elementos. Los números naturales se utilizan también para asignar un orden a los elementos de un conjunto finito. Los números utilizados para asignar un orden a los elementos de un conjunto reciben el nombre de Números Ordinales.
        Bajo los números naturales, cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

Los Números Cardinales (whole numbers) se encuentra formado por los Naturales y el cero. Vemos, pues, que al añadir el cero (0) creamos el conjunto de los cardinales. Por consiguiente, el conjunto de los números cardinales se encuentra formado por los naturales y el cero. Este conjunto se puede ilustrar de la siguiente manera:

El conjunto de los números cardinales son los enteros no negativos, puesto que el cero (0) no tiene signo, es decir, es neutral. Nótese que todos los naturales pertenecen al conjunto de los números cardinales, pero no todos los números cardinales son integrantes del conjunto de los números naturales.

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los Números Enteros (Integers) y están formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero (números cardinales). Entonces, el conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los conjuntos naturales y cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
El conjunto de los números enteros está constituído por los subconjuntos de los números naturales y cardinales. Este conjunto se puede ilustrar de la siguiente manera:

Z = { . . . -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . . }.

Nótese que los miembros de este conjunto son infinitos en ambas direcciones. Además, todo cardinal forma parte de los enteros, es decir, los números cardinales representan un subconjunto de los números enteros.

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción, en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.
El conjunto de los Números Racionales (Q) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z). Se expresa por la siguiente notación:
.

Dugopolski. M. (2009). Intermediate Algebra (6ta. ed.). New York: McGraw-Hill. 760 pp.

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