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| 1. |
Halle dos números positivos cuya suma sea 20 y cuyo
producto tenga el mayor valor posible. |
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PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER EL PROBLEMA: |
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SOLUCIÓN: |
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PASO 1:
Leer y Analizar detenidamente el Problema
Planteado: |
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Se busca optimizar a
P, el cual es el producto de dos variables.
También, se desea que el producto de estas dos cantidades sea maximizado.
Más aún, la suma de tales variables debe ser
20.
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PASO 2:
Trazar un Gráfico, Dibujo, o
Diagrama, con sus respectivos Rótulos: |
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No aplica. |
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PASO 3:
Identificar las Variables que
se habrán de Optimizar, Asignando Símbolos, o Letras, (Notación) a Éstas: |
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NOTACIÓN - Símbolos y su Significado: |
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Sea x
y y
aquellas cantidades (variables, o mediciones) que sumadas entre sí
resultan en P, o el producto,
el cual es
20. Nótese, que se desea
maximizar P, o el producto.
Entonces, |
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x = Primera variable
identificada |
P
= Producto =
20
(Variable para Maximizar) |
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y = Segunda variable
identificada |
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PASO 4:
Determinar la Ecuación Primaria,
la cualue posea la Variable que se habrá Optimizar: |
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La Suma del Primero más el Segundo será 20,
donde el PRODUCTO es un Máximo: |
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P
= xy:ECUACIÓN:
Principal
El Producto, P
, es un Máximo |
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Se dice que ésta expresión algebraica representa la
ecuación principal por la
razón de que provee el algoritmo requerido para optimizar la cantidad, o
variable, deseada. En otras palabras, esta expresión provee la
ecuación para la cantidad, o variable, que se habrá de optimizar, la
cual es P.
En este caso, el producto será un máximo.
Nótese, que la cantidad, o variable, que se desea optimizar se encuentra
a la izquierda de la ecuación
primaria. Entonces, según fue mencionado arriba, la variable que
se necesita optimizar es
P. |
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PASO 5:
Determinar la Ecuación
Secundaria: |
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La Suma de la Primera Variable más la Segunda,
será 20: |
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x +
y =
20:ECUACIÓN:
Secundaria
La Suma de las dos Variables es 20 |
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Observe que se requieren las ecuaciones auxiliares
para poder dejar una sola variable en el lado derecho de la ecuación
principal. En otras palabras, tales ecuaciones de apoyo nos
permiten ¨agarrar¨ una de las variables, de manera que sea posible
traducir la ecuación primaria.
Entonces, analizando el problema planteado, como la suma de dos
cantidades, o variables, equivale a
20,
tenemos, pues, que la ecuación auxiliar puede ser
x +
y =
20. |
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PASO 6:
Expresar la Ecuación Primaria
como una Función de la Variable que se habrá de Optimizar: |
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Escribir la Función en Términos de una
Variable: Despejar por y: |
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Para aislar una variable, se despeja la ecuación de
apoyo: |
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x +
y =
20:ECUACIÓN:
Secundaria |
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y =
20 -
x
:PROPIEDAD:
Aditiva:
de las
Ecuaciones |
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Nótese, pues, que, en la ecuación principal, si una
cantidad, o variable, es x,
entonces, la otra cantidad, o la variable y,
debe ser: (20 -
x).
Su producto, P,
es: P
= x(20
- x) =
20x
- x2.
Entonces, para llegar a este resultado, tenemos que realizar las
siguientes operaciones: |
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Evaluar la Ecuación Primaria en
y:
y
= 20
- x |
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P
= xy:ECUACIÓN:
Principal |
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P
= x(20
- x):EVALUACIÓN:
Ecuación:
Principal: P
(x)
= x(20
- x)
Función de las Variables que se desea Optimizar |
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P
= 20x
- x1+1:PROPIEDAD:
Distributiva
de la Multiplicación
sobre la Resta |
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:SIMPLIFICAR:
Multiplicación:
Exponentes: Bases
Iguales: Suman
Exponentes: Pasa la Base:
a1(a1)
= a1+1 = a2 |
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P
= 20x
- x2:SIMPLIFICAR:
Suma: de:
Exponentes |
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Ahora, tal expresión algebraica se puede describir
como una función de la variable que se desea optimizar: |
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P
(x) =
20x
- x2:ECUACIÓN:
Resultante:
como Función
de la Variable
que se desea
Optimizar |
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Lo que se busca es que el valor, o valores, de
x, como parte de
P
(x) =
20x
- x2,
sean lo más grande posibles. Expresado de otra manera, según el
problema de optimización, el objetivo es Maximizar el producto. |
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PASO 7:
Halle el Dominio para la
Función: P
(x) =
x(20
- x) |
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Dominio de
P
(x): |
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Intervalo Cerrado:
[0,20] |
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El dominio de
P
(x) es un
intervalo cerrado: 0
≤ x
≤ 20. |
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PASO 8:
Determinar los Valores Óptimos
(Máximos o Mínimos) de la Función que se Habrá de Optimizar: |
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Debido a que el dominio es un intervalo cerrado:
[0,10], el procedimiento se describe a continuación: |
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Hallar la Primera Derivada: de la Función
P
(x) =
20x
- x2:
P
'
(x) |
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P
(x) =
20x
- x2:ECUACIÓN:
Resultante:
como Función
de la Variable
que se desea
Optimizar |
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P
'
(x) =
[20x
- x2]:ECUACIÓN:
Resultante:
como Función
de la Variable
que se desea
Optimizar:
Utilizando la:
Notación de Leibniz |
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P
'
(x) =
[20x
- 1x2]:DEFINICIÓN:
Uno:
como Coeficiente
de una Variable:
a
=
1a |
| |
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P
'
(x) =
(1)20x1-1
-(2)1 x2-1:REGLA:
de la:
Potencia |
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P
'
(x) =
20x1-1
- 2 x2-1:SIMPLIFICAR:
Multiplicación |
| |
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P
'
(x) =
20x0
- 2 x1:SIMPLIFICAR:
Resta:
de Exponentes |
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|
P
'
(x) =
20(1)
- 2x1:DEFINICIÓN:
Cero:
como Exponente:
a0
= 1 |
| |
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|
P
'
(x) =
20 -
2x:PROPIEDAD:
Elemento Identidad:
en la Multiplicación:
a(1)
= a |
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 :SOLUCIÓN:
Derivada:
de:
P
(x) =
20x
- x2 |
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Determinar los
Números Críticos (Números de Partición) - Integrantes,
o Valores, de la Coordenada-de-x
(Dominio): |
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Establecer cuando la primera derivada no está
definida:
P
'
(x) No
Existe: |
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Debido a que esta es una función polinómica, donde
siempre existe el límite (y es continua), podemos reeplazar a x
en
P
'
(x) =
20 -
2 x
por cualquier número real. |
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Por lo tanto,
P
'
(x) existe
para todos los números reales. |
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Identificar los valores donde la primera derivada, de
la función
P,
es cero (ceros de la función derivada):
P
'
(x) =
0: |
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P
'
(x) =
20 -
2x:FUNCIÓN:
Primera
Derivada |
| |
|
|
|
0
=
20 -
2x:IGUALAR
A CERO:
la
Función Derivada:
Factor
del Numerador |
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2x
=
20
:PROPIEDAD:
Aditiva:
de las: Ecuaciones |
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|
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 :PROPIEDAD:
Multiplicativa:
de las: Ecuaciones |
| |
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x
=
10:SIMPLIFICAR:
Cancelación:
División Simultanea
entre
Factores Comunes |
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:CONJUNTO
SOLUCIÓN:
Número
Crítico:
x
=
10 |
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Como se puede observar, la primera derivada se
encuentra en cada punto del intervalo 0
≤ x
≤ 20
y es igual a cero cuando x
=
10.
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Determinar los
Valores Críticos (Coordenada en el eje-de-y,
o Rango) de la Función, Correspondientes a sus Números Críticos -
Establecer los Valores Extremos Relativos: |
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Determinar el Valor Extremo Relativo/local, máximo
o mínimo, que Asume la Función en su Número Crítico:
Valor, o Coordenada, Localizado en el eje-de-y: |
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Evaluar los Posibles Números Críticos en la Función
Original: Sustituir los Números Críticos Dentro de la Función
Original: |
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P
(x) =
20x
- x2:ECUACIÓN:
Resultante:
como Función
de la Variable
que se desea
Optimizar |
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P
(10) =
20(10)
- (10)2:EVALUACIÓN:
en:
Función Original:
Número Crítico:
x
=
10 |
| |
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|
|
|
P =
200 -
100:SIMPLIFICAR:
Multiplicación |
| |
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|
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|
P =
100:SIMPLIFICAR:
Resta |
| |
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|
|
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P =
100:SOLUCIÓN:
Punto
para el: Valor
Crítico:
y
=
100
P =
100 |
| |
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Evaluar a
P
en Todos los Extremos - Determinar los
Valores Extremos: |
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|
P
(0) =
0 |
| |
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|
P
(20) =
0 |
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PASO 9:
Plantear el Resultado en el
Contexto del Problema Original: |
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El valor máximo del producto,
P,
es 100:
P =
100.
Lo dos números positivos, donde sus sumo equivale a 20, son, a saber:
x
=
10
y
20 - 10 = 10. |
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CÁLCULO
