PROBLEMA:
1 1 CONOCIDO:
d
d
d DADO: SOLUCIÓN:
1
1 = 5x-2 + 5x-1 :Definición: Exponente Negativo = (-2)5x-2-1 + (-1)5x-1-1 :Regla: Potencia = -10x-3 + (-5x-2 ) :Simplificación: Multiplicación, Suma de Exponentes
1 1 PROBLEMA: Hallar la derivada para: y = 2x4 - 8x3 - 9 CONOCIDO:
d
d
d
d DADO: SOLUCIÓN:
y = 2x4
- 8x3 - 9
:Función Original:
Dada y' = 2x4 - 8x3 - 0 :Regla: Constante = 2x4 - 8x3 :Simplificar: Suma = (4)2x4-1 - (3)8x3-1 :Regla: Potencia = 8x3 - 24x2 :Simplificación: Multiplicación, Resta de Exponentes
En los siguientes Ejercicios, trace la gráfica de f. Luego identifique los valores de c para el cual el lim f (x) existe.
f '(x) = lim f(x + h) - f(x)
Definición:
Derivada de la Función PROBLEMA: Hallar la derivada de -3sin x CONOCIDO:
d d d DADO: SOLUCIÓN: -3sin x :Función Original: Dada PROBLEMA: Hallar la derivada
para la función:
f'(49) si f(x) =
CONOCIDO:
f '(x) = lim f(x + h) - f(x)
:Definición:
Derivada de la Función
m(x1) = lim f(x + h)
- f(x)
:Definición:
Derivada de la Reacta Tangente SOLUCIÓN:
f '(x) = lim f(x
+ h) - f(x)
:Definición:
Derivada de la Función
f '(x) = lim f(49
+ h) - f(49)
:Evaluación:
Valor de x
SOLUCIÓN: mVertical = No Definidas PROBLEMA: Hallar la derivada para la función: f'(10) if f(x) = 11x2 + 9x DADO: f'(10) x = 10 f(x) = 11x2 + 9x CONOCIDO: Derivada de la Función:
f(x + h) - f(x) SOLUCIÓN #1:
f(x + h) - f(x)
f(10 + h) - f(10)
[11(10
+
h)2
+
9(10
+
h)] - [11(10)2
+
9(10)]
[11(102
+ 2(10)h + h2)
+
90 + 9h)] - [11(100)
+ 90)]
:Multiplicación:
Cuadrado de la Suma de un Binomio:
(a + b)2 = (a2
+ 2ab + b2)
[11(100
+ 20h + h2)
+
90 + 9h)] - [1100
+ 90)]
[11(100
+ 20h + h2)
+
90 + 9h)] - 1100
- 90
SOLUCIÓN
#2: f(x) = 11x2 + 9x :Definición: Derivada de la Función
= 11(2)(10)2-1
+ 9(1)(10)1-1
:Evaluación:
Valor de x:
x
= 10 = 22(10)1 + 9(10)0 :Simplificar: Multiplicación
= 22(10)
+ 9(1)
:Definición:
1 como Exponente = 220 + 9 :Simplificar: Multiplicación = 229 :Simplificar: Suma,Solución
Utilice la definición:
f '(c) = lim f(c
+ h) - f(c)
para hallar la derivada f'(49) if f(x) =
Hallar la derivada
para la función:
f'(49) if f(x) =
SOLUCIÓN:
f '(x) = lim f(x
+ h) - f(x)
:Definición:
Derivada de la Función
f '(x) = lim f(49
+ h) - f(49)
:Evaluación:
Valor de x PROBLEMA: Hallar la derivada para la función: f'(10) if f(x) = 11x2 + 9x DADO: f'(10) x = 10 f(x) = 11x2 + 9x CONOCIDO: Derivada de la Función:
f(x + h) - f(x) SOLUCIÓN #1:
f(x + h) - f(x)
f(10 + h) - f(10)
[11(10
+
h)2
+
9(10
+
h)] - [11(10)2
+
9(10)]
[11(102
+ 2(10)h + h2)
+
90 + 9h)] - [11(100)
+ 90)]
:Multiplicación:
Cuadrado de la Suma de un Binomio:
(a + b)2 = (a2
+ 2ab + b2)
[11(100
+ 20h + h2)
+
90 + 9h)] - [1100
+ 90)]
[11(100
+ 20h + h2)
+
90 + 9h)] - 1100
- 90
SOLUCIÓN
#2: f(x) = 11x2 + 9x :Función: Original Dada
= 11(2)(10)2-1
+ 9(1)(10)1-1
:Evaluación:
Valor de x:
x
= 10 = 22(10)1 + 9(10)0 :Simplificar: Multiplicación
= 22(10)
+ 9(1)
:Definición:
1 como Exponente = 220 + 9 :Simplificar: Multiplicación = 229 :Simplificar: Suma,Solución SOLUCIÓN: f(x) = 2 - 7x3 :Función: Original Dada = 0 - 7x3 :Regla: de la Constante = - 7x3 :Suma: Elemento Identidad = - 7(3)x3-1 :Regla: de la Potencia = - 21x2 :Simplificar: Multiplicación, Resta de Exponentes, Solución
f(x) = x2 + 5 :Función: Original Dada = x2 + 0 :Regla: de la Constante = x2 :Suma: Elemento Identidad = (2)x2-1 :Regla: de la Potencia = 2x1 :Simplificar: Multiplicación, Resta de Exponentes = 2x :Solución: Derivada de la Función PROBLEMA: Hallar la derivada para: y = 8 - 7x3 CONOCIDO: Reglas Básicas: Si f(x) = k, donde k es cualquier número real, entonces f '(x) = 0 d Si f(x) = xn para cualquier número real diferente a 0, entonces f '(x) = nxn-1
d Si f(x) = kg(x), entonces f '(x) = kg'(x) d Si f(x) = u(x) + v(x), entonces f '(x) = u'(x) + v'(x)
d Si f(x) = u(x) - v(x), entonces f '(x) = u'(x) - v'(x)
d Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Si a es un valor positivo distinto de 1, f(x) = ex, entonces f '(x) = ex
d Si a es un valor positivo distinto de 1, f(x) = ax, entonces f '(x) = ax ln a
d Derivadas de las Funciones Trigonométricas:
d d
d DADO: Función: y = 8 - 7x3 SOLUCIÓN: y = 8 - 7x3 :Función: Original Dada y' = 0 - 7x3 :Regla: de la Constante = - 7x3 :Suma: Elemento Identidad = - 7(3)x3-1 :Regla: de la Potencia = - 21x3-1 :Simplificar: Multiplicación = - 21x2 :Simplificar: Resta de Exponentes = - 21x2 :Solución: Derivada de: y = 8 - 7x3
d Encuentre la derivada. PROBLEMA: Hallar la derivada para: y = 4x2 + 10x + 2x -3 DADO: Función: y = 4x2 + 10x + 2x -3 SOLUCIÓN: y = 4x2 + 10x + 2x-3 :Función: Original Dada y' = 4(2)x2-1 + 10(1)x1-1 + 2(-3)x-3-1 :Regla: de la Potencia = 8x2-1 + 10x1-1 - 6x-3-1 :Simplificar: Multiplicación = 8x1 + 10x0 - 6x-4 :Simplificar: Resta de Exponentes = 8x + 10(1) - 6x-4 :Simplificar: Exponentes = 8x + 10 - 6x-4 :Propiedad: Elemento Identidad de la Multiplicación = 8x + 0 - 6x-4 :Regla: de la Constante = 8x - 6x-4 :Propiedad: Elemento Identidad de la Suma = 8x - 6x-4 :Solución: Derivada de: y = 4x2 + 10x + 2x-3
d Calcule la derivada de la función. Entonces, encuentre la derivada en el valor indicado. (Points: 0.5) PROBLEMA: Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x, en el valor g '(1) DADO: Función: g(x) = x3 + 5x Punto: g '(1) SOLUCIÓN: g(x) = x3 + 5x :Función: Original Dada g'(x) = (3)x3-1 + 5(1)x1-1 :Regla: de la Potencia = 3x3-1 + 5x1-1 :Simplificar: Multiplicación = 3x2 + 5x0 :Simplificar: Resta de Exponentes = 3x2 + 5(1) :Definición: de Cero como Exponente = 3x2 + 5 :Propiedad: Elemento Identidad de la Multiplicación = 3x2 + 0 :Regla: de la Constante = 3x2 :Propiedad: Elemento Identidad de la Suma = 3x2 :Solución: Derivada de: g(x) = x3 + 5x
d g'(1) = 3(1)2 :Evaluación: Valor de x: x = 1 = 3(1) :Simplificar: Multiplicación = 3 :Simplificar: Multiplicación = 3 :Solución: Derivada de: g(x) = x3 + 5x en el Punto g '(1) Por lo tanto, la solución es: g '(x) = 3x2; g '(1) = 3 Calcule la derivada de la función. Entonces, encuentre la derivada en el valor indicado. (Points: 0.5) PROBLEMA: Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de la gráfica de la función: s = h(t) = t3 - 9t + 5 En el Punto: (t, s) = (3, 5) SOLUCIÓN: s = h(t) = t3 - 9t + 5 :Función: Original Dada h'(t) = (3)t3-1 + 9(1)t1-1 + 5 :Regla: de la Potencia = 3t3-1 + 9t1-1 + 5 :Simplificar: Multiplicación = 3t2 + 9t0 + 5 :Simplificar: Resta de Exponentes = 3t2 + 9(1) + 5 :Definición: de Cero como Exponente = 3t2 + 9 + 5 :Propiedad: Elemento Identidad de la Multiplicación = 3t2 + 0 + 0 :Regla: de la Constante = 3t2 :Propiedad: Elemento Identidad de la Suma = 3t2 :Solución: Derivada de: s = h(t) = t3 - 9t + 5
d Ecuación: Recta Tangente: Forma Punto-Pendiente y - y1 = m(x - x1) :Definición: Forma Punto-Pendiente: y - y1 = m(x - x1) s - s1 = m(t - t1) :Definición: Forma Punto-Pendiente: s - s1 = m(t - t1) s - 5 = 3t2(x - 3) :Evaluar Variables: Punto-Pendiente: Punto: P1(3, 5); Pendiente: 3t2 PROBLEMA: Hallar
desplazamiento y la velocidad
promedio de la
expresión: s
= - t3 + 4t2 - 4t,
DADO: Posición del objeto en movimiento rectilíneo: s = f(t) Intérvalo: 0 ≤ t ≤ 4 = [0, 4] Movimiento Rectilineo = Desplazamiento = Distancia = s = metros = m Tiempo = t = segundos = s CONOCIDO: Derivada de la Función:
f(x + h) - f(x) Velocidad Promedio:
Cambio en distancia
Función de Velocidad:
s(t +
Razón de Cambio Instantáneo: Razón de Cambios Instantáneo de y:
dy Función de Posición: s(t) = 1/2gt2 + v0t + s0 donde, s(t) = Desplazamiento s0 = Altura inicial del objeto v0 = Velocidad inicial del objeto g = La aceleración debido a la gravedad = =32 pies/s2 = -9.8 m2 Movimiento Rectilineo: Objeto que se mueve a lo largo de una recta Velocidad:
ds Aceleración:
dv d2s Rapidez: I v(t) I SOLUCIÓN 1: s = - t3 + 4t2 - 4t :Expresión: Original Dada
s(t +
s(0 +
[(0 +
SOLUCIÓN 2: s = - t3 + 4t2 - 4t :Expresión: Original Dada s(t) = t3 + 4t2 - 4t :Función: Desplazamiento (Movimiento Rectilíneo): Respecto al Tiempo s' = (3)t3-1 + 4(2)t2-1 - 4(2)t1-1 :Regla: de la Potencia = 3t3-1 + 8t2-1 - 8t1-1 :Simplificar: Multiplicación = 3t2 + 8t1 - 8t0 :Simplificar: Resta de Exponentes = 3t2 + 8t - 8(1) Definición: de Cero como Exponente = 3t2 + 8t - 8 Propiedad: Elemento Identidad de la Multiplicación = 3t2 + 8t - 0 :Regla: de la Constante = 3t2 + 8t :Propiedad: Elemento Identidad de la Suma = 3t2 + 8t :Solución: Derivada de: s(t) = t3 + 4t2 - 4t
d s'(4) = 3t2 + 8t :Evaluación: Valor de x: x = 4 = 3(4)2 + 8(4) :Simplificar: Multiplicación = 3(16) + 32 :Simplificar: Multiplicación = 48 + 32 :Simplificar: Multiplicación = 80 :Solución: Derivada de: g(x) = x3 + 5x en el Punto g '(1)
SOLUCIÓN: negativo por negativo = positivo -5cos x = -sin x = 5cos x PROBLEMA: Hallar la derivada para: y = 13 - 13x2 DADO: Función: y = 13 - 13x2 SOLUCIÓN: y = 13 - 13x2 :Función: Original Dada y' = 0 - 13x2 :Regla: de la Constante = - 13x2 :Suma: Elemento Identidad = - 13(2)x2-1 :Regla: de la Potencia = - 26x2-1 :Simplificar: Multiplicación = - 26x1 :Simplificar: Resta de Exponentes = - 26x :Definición: de 1 como un Exponente = - 26x :Solución: Derivada de: y = 13 - 13x2
d 3. Calcule la derivada de la función. Entonces, encuentre la derivada en el valor indicado. PROBLEMA: Hallar la derivada para: f(x) = x2 + 7x - 2 Hallar la derivada para: f(x) = x2 + 7x - 2; f '(0) DADO: Función: f(x) = x2 + 7x - 2 Punto: g '(1) SOLUCIÓN: f(x) = x2 + 7x - 2 :Función: Original Dada f '(x) = x2 + 7x - 0 :Regla: de la Constante = x2 + 7x :Suma: Elemento Identidad = (2)x2-1 + 7(1)x1-1 :Regla: de la Potencia = 2x2-1 + 7x1-1 :Simplificar: Multiplicación = 2x1 + 7x0 :Simplificar: Resta de Exponentes = 2x + 7(1) :Definiciones: 1 como un Exponente; Cero como un Exponente = 2x + 7 :Simplificar: Multiplicación: PROPIEDAD: Elememto Identidad de la Multiplicación = 2x + 7 :Solución 1: Derivada de: f(x) = x2 + 7x - 2
d f'(0) = 2(0) + 7 :Evaluación: Valor de x: x = 0 = 0 + 7 :Simplificar: Multiplicación = 7 :Simplificar: Suma: PROPIEDAD: Elemento Identidad de la Suma = 7 :Solución: Derivada de: f(x) = x2 + 7x - 2; f '(0) en el Punto f '(0) Por lo tanto, la solución es: f '(x) = 2x +7; f '(0) = 7 PROBLEMA: Hallar la derivada para: g(x) = 3x2 - 4x Hallar la derivada para: g(x) = 3x2 + 4x; g '(3) DADO: Función: g(x) = 3x2 - 4x Punto: g '(3) SOLUCIÓN: g(x) = 3x2 - 4x :Función: Original Dada g' = 3(2)x2-1 - 4(1)x1-1 :Regla: de la Potencia = 6x2-1 - 4x1-1 :Simplificar: Multiplicación = 6x1 - 4x0 :Simplificar: Resta de Exponentes = 6x - 4(1) :Definiciones: 1 como un Exponente; Cero como un Exponente = 6x - 4 :Simplificar: Multiplicación: PROPIEDAD: Elememto Identidad de la Multiplicación = 6x - 4 :Solución 1: Derivada de: g(x) = 3x2 - 4x
d f'(3) = 6(3) - 4 :Evaluación: Valor de x: x = 3 = 18 - 4 :Simplificar: Multiplicación = 14 :Simplificar: Resta = 14 :Solución: Derivada de: f(x) = 3x2 - 4x ; g '(3) en el Punto g '(3) Por lo tanto, la solución es: g '(x) = 6x - 4;g '(3) =14 PROBLEMA: Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de la gráfica de la función: y = f(x) = x2 - x, (x, y) = (2, 2) En el Punto: (x, y) = (2, 2) SOLUCIÓN: Diferenciación: Hallar la Derivada: y = f(x) = x2 - x :Función: Original Dada y ' = (2)x2-1 - (1)x1-1 :Regla: de la Potencia = 2x2-1 - x1-1 :Simplificar: Multiplicación y Propiedad de Elemento Identidad de la Multiplicación = 2x1 - x0 :Simplificar: Resta de Exponentes = 2x - 1 :Definición: 1 como un Exonente y Cero como un Exponente = 2x - 1 :Solución 1: Derivada de: y = f(x) = x2 - x
d Pendiente: del Valor de "x" y' = 2x - 1 :Derivada: Calculada = 2(2) - 1 :Evaluación: Valor de x: x = 2 = 4 - 1 :Simplificar: Multiplicación = 3 :Simplificar: Suma Ecuación: Recta Tangente: Forma Punto-Pendiente y - y1 = m(x - x1) :Definición: Forma Punto-Pendiente: y - y1 = m(x - x1) y - 2 = 3(x - 2) :Evaluar Variables: Punto-Pendiente: Punto: P1(2, 2); Pendiente: 5 y - 2 = 3x - 6 :Propiedad: Distributiva y = 3x - 6 + 2 :Propiedad: Aditiva: de la Igualdad y = 3x - 4 :Simplificar: Suma y = 3x - 4 :Solución: Pendiente-Intercepto: y = mx + b
PREGUNTAS Y RESPUESTAS: ¿Qué significa el límite? Tengo una duda con respecto al concepto límite en cálculo. No se si está bién visualizarlo como ¿el alcance de una función?; es ¿la salida más alta de una función? Pregunto, entonces, ¿el límite es una variable dependiente?. Otra duda es, si el límite tiene alguna relación la razón de cambio del dominio de una función Respuesta: El "alcance" de una función muchas veces se
refiere como "rango", "codominio", "recorrido" de ésta. Se refiere al conjunto
de valores que la función asume o asigna. Por ejemplo, si la función: ¿Cuándo un límite no está definido? ¿Cuando un límite No Está Definido?. ¿Será cuando la salida de una función sea igual a 1?. Si es así, ¿porqué?. Yo entiendo que en una expresión racional, el denominador no puede ser igual a cero, pero ¿qué relación tiene esto con el límite? Según lo que aprendí en precálculo, en una recta vertical, su pendiente no está definida, pues la razón de cambio en la variable dependiente, ubicada en el denominador, será igual a cero. Entonces, ¿cómo yo puedo relacionar esto para decidir cuándo no existe un límite? Ir a:
http://www.calculus-help.com/phobedemo/ He comenzado a realizar la Asignación 1.1 e insertar la función correspondiente en el progama de GRAPH. Mi duda consiste en ¿cuándo el punto (par ordenado) de tal función es cerrado o abierto? Me deje llevar por las notas de la clase pasada, pero al crear la gráfica observé ésta posee dos puntos abiertos, a saber: en el par ordenado (2, 4) y (4, 0) (¿son intérvalos abiertos del planno cartesiano?). Según entiendo, en la función f se coloca un punto sólido cuando x es "mayor o igual que" o "menor o igual que"; pero el punto es hueco cuando x es "menor que" o "mayor que". Yo lo hice así en GRAPH, pero aparece un punto hueco en el par ordenado (2,4). Esto se debe a que en la función f(x) = 8-2x, cuando x se encuentre entre 2 y 4, se deben colocar puntos huecos. El problema es que no sé si esto está bien. Respuesta:
Como ocurre en el inglés como en el español hay palabras que se escriben igual
pero tienen signficado diferentes. Éstas se llaman homónimas. Por ejemplo, las
palabras real (adj.: de existencia verdadera) o real (adj.: del rey o la realeza).
El contexto donde se usan determina su significado. Tengo una duda en el ejercicio 9, de la sección 1.5 Observo que en la gráfica que existen dos puntos abiertos que no coinciden cuando x=3. Pregunto, ¿esta interrupción, o discontinuidad, implica que la gráfica es discontinua en el punto (3,1) y (3,-1)? Entonces, ¿tal función está definida en todos los valores de x, excepto 3? Respuesta: Si los dos puntos son abiertos cuando x = 3, significa que el 3 no pertenece al dominio y hay una discontinuidad. Función del entero mayor pero menor o igual que ...f(x) = [|x|] Respuesta: La Función del Entero mayor pero menor o igual que x representado por [|x|] se conoce en inglés como "The Largest Integer Less Than or Equal a Specified Value Function" es una función que se usa particularmente en el campo de las ciencias de cómputos. Para entender como esta función trabaja estudie los ejemplos siguientes: [|2.3|] = 2 [|2.9|] = 2 [|2|] = 2 Observe que para números negativos, hay que recordar que el menor es el que se encuentran a la izquierda en la recta numérica. Es decir -5 es menor que -1. De modo que: [|-2.3|] = -3 [|-2.9|] = -3 [|-2.0|] = -2 Tome nota que [|-2.0|] es el entero menor o igual que -2.0 y por lo tanto tiene que ser -2. De manera que si consideramos los siguientes límites: lim [| x - 2|] mientras x se acerca a 2 por la derecha, el resultado es 0 lim [| x - 2|] mientras x se acerca a 2 por la izquierda, el resultado es -1 Observe que en este último caso, la diferencia no alcanza el 0 ya que x toma valores cerca a 2, nunca igual a 2. ¿Cuándo es un límite al infinito positivo
o negativo?
No es la misma situación lo que ocurre con la
función trignométrica cos x y la función recíproca 1/x Observe de la gráfica que
la función coseno es una función continua. De manera que el límite de esta
función mientras que x se acerque a cualquier valor a por la izquierda o derecha
es cos(a). Es decir: lim cos x = cos (-pi/3) = 1/2. x->(-pi/3)- La función
coseno NO tiene asíntotas verticales, de manera que NO hay ningún valor a para
el cual, lim cos x = infinito o -inifinito x->a Más aún si consideramos lim cos
x x->infinito NO existe ya que no hay un valor particular para el cual la
función se acerque mientras que x toma valores bien bien grandes o bien bien
pequeños. Muy diferente es el caso de la función recíproca: 1/x
Esto me tiene algo confundido. Le
pregunto, está correcto decir que ¿la pendiente de la recta tangente en el punto
(2, 0) equivale a la derivada de la función en tal par ordenado? Esto surge de la Actividad 2.1: La Derivada: Ejercicios para la Seccción 2.1, página 87. Diice: "En los ejercicios 1 y 2 estime la pendiente de la gráfica en los puntos (x1,y1) y (x2,y2)." Específicamente, la duda viene del ejercicio: 1, (a). Me parece, que de la gráfica, se obtiene que P1( x1,y1) = (-3,3) y P2(x2,y2) = (2, 0). Mi duda es el cálculo de la pendiente. No se si se requiere emplear el método tradicional:
y2 - y1
Cambio en y o emplear la fórmula de la derivada
f (x + cambio en x) - f (x) o no se si hay otra fórmula. La Pendiente de una Curva? Otra pregunta, ¿se requiere hacer algun tipo de aproximación, buscando la pendiente de algunas líneas entre los puntos de la curva?, entonces ¿se requiere la presencia de una recta secante, de manera que existan dos puntos? Calcular la Velocidad Promedio
Hallar
desplazamiento y la velocidad
promedio de la
expresión: s
= - t3 + 4t2 - 4t,
DADO: Posición del objeto en movimiento rectilíneo: s = f(t) Intérvalo: 0 ≤ t ≤ 4 = [0, 4] Movimiento Rectilineo = Desplazamiento = Distancia = s = metros = m Tiempo = t = segundos = s Respuesta: Recordar que la
velocidad promedio (razón de cambio promedio) requiere DOS puntos de referencia.
En el intervalo 0 ≤ t ≤ 4 hay DOS posiciones de interés: s(0) y s(4).
y - 2 = 3x2(x - 1)
Este ejercicio se describe como sigue: PROBLEMA:
Hallar
la ecuación de la Recta Tangente:
para la función: f(x) = x3 + 1 DADO: Función: f(x) = x3 + 1 Punto: P1(1, 2) CONOCIDO: Definición: Derivada de una Función
f(x + h) - f(x) Definición: Forma Punto-Pendiente y - y1 = m(x - x1)
Lopa La gráfica de la ecuación y - 2 = 3x2(x - 1) es una curva (parábola). El punto (1,2) es un punto en su gráfica. Se desea determinar la ecuación de la recta tangente por ese punto. Como es una recta tendrá una ecuación de la forma: y = mx + b donde m es su pendiente y b su intercepto en y. Para calcular m, sólo tiene que calcular la derivada de lá función y - 2 = 3x2(x - 1) por el punto (1,2). Una vez lo haya hecho, use la forma "pendiente-intercepto" para determinar la ecuación. Quisiera saber si el procedimiento para resolver esta pregunta es la correcta: PROBLEMA: Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x, en el valor g '(1) DADO: Función: g(x) = x3 + 5x Punto: g '(1) SOLUCIÓN: g(x) = x3 + 5x g'(x) = (3)x3-1 + 5(1)x1-1 = 3x3-1 + 5x1-1 = 3x2 + 5x0 = 3x2 + 5(1) = 3x2 + 5 = 3x2 + 0 = 3x2
d g'(1) = 3(1)2 = 3(1) = 3 = 3 :Solución: Derivada de: g(x) = x3 + 5x en el Punto g '(1) Por lo tanto, la solución es: g '(x) = 3x2; g '(1) = 3 Hubo un error en el cáculo de la derivada g'(1). Si g(x) = x3 + 5x entonces, g(x) = 3x2 + 5 Por tanto, g'(1) = 3(1)2 + 5 = 8. Quisiera saber cómo puedo terminar el siguiente procedimiento, de manera que pueda determinar la ecuación de la recta tangente, en su forma de pendiente-intercepto: Ecuación: Recta Tangente: Forma Punto-Pendiente y - y1 = m(x - x1) :Definición: Forma Punto-Pendiente: y - y1 = m(x - x1) s - s1 = m(t - t1) :Definición: Forma Punto-Pendiente: s - s1 = m(t - t1) s - 5 = 3t2(x - 3) :Evaluar Variables: Punto-Pendiente: Punto: P1(3, 5); Pendiente: 3t2 Respuesta:
Se sugiere ver el video:
Cuál es la Derivada de la Raíz Cuadrada de theta Tengo duda en determinar la derivada de la raíz cuadrada de theta. No se si la debo convertir en una notacion exponencial: theta1/2
Cómo Hallar el Punto Y1 para la Ecuación de la Recta Tangenta Dado x1 y se halla determinado la derivada, tendo duda de cómo determinar el punto y1. Por ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta tangente
a la ecuación en el punto donde el valor de x se indica: y=(2x2+3x+4)(2x-3); x =0 La derivada fue: y' =12x2 + 12x + 8 -12x - 9 = 12x2 -1 para hallar a la pediente m: m = f'(0) = 12(0)2 -1 = -1 La pregunta mía es, ¿cómo determino al punto
y1?
Este punto lo necesito para insertarlo en la Fórmula Punto-Pendiente. ¿Será
12?. Si es así, ¿Porqué? ¿Existe otra manera
para determinar este punto? Respuesta: ¿tiene que ver cómo sustituir x1, y1 en la forma pendiente-punto de una recta? Si tenemos que la pendiente de una recta es 3 y las coordenadas de un punto es (-2,5). Su ecuación está dada por: y - y1 = m(x - x1) Entonces: m = 3 x1 = -2 y1 = 5 De modo que al sustituir en la forma pendiente-punto, la ecuación se convierte a: y - (5) = 3(x - (-2)) y - 5 = 3(x + 2) y - 5 = 3x + 6 y = 3x + 6 + 5 y = 3x + 11 De manera que en el problema que le salió, en donde hay que encontrar la ecuación de la recta tangente a la ecuación en el punto donde el valor de x se indica: y = (2x2+3x+4)(2x-3), x =0 Primero, buscamos la primera derivada de y. Usando al Regla del Producto: y' = (2x2 + 3x + 4)(2) + (2x - 3)(4x + 3) = (4x2 + 6x + 8) + ( (8x2 - 6x - 9) = 12x2 - 1 Luego, calculamos la pendiente de la recta tangente cuando x = 0. y' = 12x2 - 1 y'(0) = = 12(0)2 - 1 = -1 Esto quiere decir que la pendiente de la recta tangente por x = 0 es -1. Para determinar el punto, necesitamos saber el valor de y cuando x = 0. Para esto, sustituimos en la ecuación original, el valor de x = 0 y tenemos: y = (2x2+3x+4)(2x-3) y(0) = (2(0)2+3(0)+ 4)(2(0) - 3) = -12 Esto es, cuando x = 0, el punto es (0, -12) Sustituyendo en la forma pendiente-punto de una recta: y - y1 = m(x - x1) m= -1 x1 = 0 y1 = -12 De modo que al sustituir en la forma pendiente-punto, la ecuación se convierte a: y - (-12) = -1(x - (0)) y + 12 = -x y = -x - 12 De manera que la ecuación de la recta tangente es: y = -x -12 Algunas dudas sobre la Reglas de la Cadena y sus Variantes Poseo algunas duda sobre la Regla de la Cadena y sus variantes. En primera instancia, cuando decimos que buscamos, utilizando la regla de la cadena, a la derivada de f compuesta con g, ¿nos referimos a calcular a y? En otra pregunta, ¿las derivadas de las funciones compuestas pueden visualizarse como una pendiente interna y una pendiente externa? Finalmente, ¿çómo se expresa, de manera correcta, la derivada de las funciones trigonométricas compuestas del coseno? ¿-(sin u)u'? ó ¿(-sin u)u'? Pregunta 1: Cuando hay una composición de funciones, tenemos dos funciones envueltas. Una función primero, la cual la llamaré primera función (F) que asigna a sus valores x de su dominio a un valor u de su codominio, y una segunda función (G) que asigna los valores u de su dominio a valores y de su codomio. De manera que:
Digamos F(x) = x3 G(u) = cos u También se podría representar estas funciones por las ecuaciones: u = x3 y = cos u Si consideramos la primera derivada de la función F con respecto a x, la podemos representar por u' o du/dx. De manera que si F(x) = x3 , entonces du/dx = 3x2 Si consideramos la primera derivada de la función G con respecto a u, la podemos representar por y' o dy/du. De manera que si G(u) = cos u , entonces dy/du = -sin u Cuando consideramos la función compuesta (G o F) estamos hablando de la función: (G o F)(x) = G(F(x)) Esto es: G(F(x) = G(3x2) G(F(x) = cos (3x2) Para calcular la primera derivad de G con respecto a x, esto es dy/dx se tiene que usar la Regla de la Cadena la cual nos dice que: du/dx = dy/du.du/dx du/dx = ( -sin u) . ( 3x2) = ( -sin x3) . ( 3x2) = -3x2sin x3 Pregunta 2: Usar las expresiones pendiente interanas, externas o añadirle términos no le ayudará, más bien le confundirá. La derivada de una función f en un valor "a" de su dominio se puede interpretar como una de dos cosas: 1. La pendiente de la recta tangente que pasa por el punto (a, f(a)) ó 2. La razón de cambio instantáneo de la función f en a. Respuesta 3: Cualquiera de las dos son equivalentes. Verificar Problema de Cadena ( Tengo duda en el ejercicio que se describe abajo. No estoy seguro si todos los pasos están correctos: Halle Dxy: tan x-1 Dxy[tan x-1] :FUNCIÓN: Original Dada [sec2(x-1)(-x-2)] :REGLA: de la Cadena [sec2(-x-1+(-2))]
:PROPIEDAD:
del
Producto
para Exponentes [sec2(-x-1-2)] :PROPIEDAD: de Resta: Inverso Aditivo de la Resta [sec2(-x-3)] :SIMPLIFICAR: Suma de Exponentes: Signos Iguales Negativos [-sec2(x-3)] :SIMPLIFICAR: Multiplicación [-sec2( 1
)] :DEFINICIÓN:
de
Exponente Negativo -sec2
:SIMPLIFICAR:
Multiplicación
Exponente Negativo
d
-sec2 Respuesta: Hay un par de errores en el proceso: Duda al Insertar una Función Trigonométrica en GRAPH Tengo duda con respecto a la manera correcta para insertar la siguiente función en GRAPH: y = x2 tan 1/x La he insertado de varias manera, pero la gráfica se observa algo "rara". No sé si esto colocando mal las variables. La he insertado como: x^2tan(1/x) x^2(tan(1/x)) (x^2)(tan(1/x)) No obstante, no estoy seguro cuál es la correcta, o si todas están incorrectas. Respuesta: En duda, añada todos los paréntesis y
símbolos de multiplicación que sean necesarios. Es decir, la correcta es la que
represente: Tengo duda con respecto a las instrucciones : En los Ejercicios tales, utilice un sistema computadorizado de álgebra para hallar la derivada de la función. Luego, emplee tal herramienta para trazar la gráfica de la función correspondiente y su derivada sobre el mismo conjunto de ejes de la coordenada. Describa el comportamiento de la función que c cualquiera de los ceros de la gráfica, la cual que representa la derivada. y = x2 tan 1/x Lo que no entiendo bien es la parte que indica: describir el comportamiento de la función que corresponda para cualquiera de los ceros de la gráfica, la cual represente la derivada. Respuesta: Lo que el autor estaba tratando de hacer es que se diera atención a cómo los ceros de la función derivada f' describe el comportamiento de la función f. Los "ceros" de una función son los valores de su dominio en dónde la función toma el valor de cero. Si grafica una función, como f(x) = x2tan 1/x Y, luego se grafica su función derivada f', se observa que en los ceros de la función derivada (aprox. -1.1 y +1.1), la gráfica de la función f alcanza un punto máximo o mínimo local. Es decir, un punto en donde cambia de ser creciente a decrecient o vice versa. Vea la imagen que adjunto.
Respuesta: Estudiante: Edgar Lopategui Corsino Entonces, ¿los ceros de la función (interceptos en x) de la derivada de y = x2tan 1/x indican su comportamiento? ¿los puntos máximo o mínimos se refieren a la gráfica de la función original o a su derivada? ¿Estos puntos máximo y mínimos tiene que ver con lo próximo que se discutirá en clase? Duda para Insertar -sec2 (1/x) en GRAPH Tengo duda con respecta a cómo insertar -sec2 (1/x) en GRAPH, pues me envia el error de que "espera un número, constante o función" a insertarla como: -sec^2(1/x) Respuesta: Duda sobre Diferenciación Implícita Tengo varias dudas sobre la diferenciación implícita: 1) Cuál es la difderencia cuando en el quiz te pide buscar Dxy vs dy/dx. 2) Tengo duda en uno de los pasos de la diferenciación implícida. Por ejemplo: Halle: dy/dx[x3 + y3 - 9xy = 0] Solución: dy/dx[x3 + y3 - 9xy] = dy/dx 0 dy/dx x3 + dy/dx y3 - 9 dy/dx xy = dy/dx 0 3x2 + 3y2 - 9(x dy/dx + y dy/dx x) = 0 DUDA EN ESTE PASO 3x2 + 3y2 dy/dx - 9x dy/dx - 9y = 0 DUDA EN ESTE PASO 3y2 dy/dx - 9x dy/dx = -3x2 + 9y2 dy/dx (3x2 - 9x) = -3x2 + 9y2 dy
(3x2 - 9x)
-3x2 + 9y2 dy
-3x2 + 9y2 dy
3(-x2 + 3y) dy
3y - x2 Tengo otra duda sobre la diferenciación implícita. Especóficamente en el siguiente ejercicio: PRIMERO: DADO: 6x2y + π cos y = 7π, P(1, π) PROBLEMA: Halle la pendiente o ecuación de la recta tangente Solución: ? SEGUNDO: QUÉ HICE MAL: 1) Halle: dy/dx[x3 - 6x2y + y3 = 10] Solución: dy/dx[x3 - 6x2y + y3] = dy/dx 10 dy/dx x3 - 6 dy/dx x2y + dy/dx y3 = dy/dx 10 x2 - 6(x2 dy/dx + y dy/dx x2) + 3y2= 0 x2 - 6x2 dy/dx - 6y dy/dx + 3y2= 0 - 6x2 dy/dx = - x2 - 3y2 + 6y dy/dx ? Duda sobre un Ejercicio de Cadena Tengo una duda de cómo completar el siguiente ejercicio de cadena: y = (raíz cuadrada de x - 7)-3 El ejercicio requiere calcular la segunda derivada. Y ahí es donde estriba el problema Respuesta: y = (raíz cuadrada de x - 7)-3 es equivalente a: y = [(x - 7)1/2]-3 y = [(x - 7)-3/2] y' = (-3/2)[(x - 7)-5/2][d(x - 7)/dy] y' = (-3/2)[(x - 7)-5/2] y' = -3(x - 7)-5/2/2 Tengo duda con un ejercicio que me apareció
en mi quiz 2.2. El ejercicio dice asi: encuentre la ecuación de la tangente en
el punto de la gráfica de la función: Respuesta: Primero calculemos la primera derivada de W. Duda: Halle la pendiente de la recta tangente
en los valores dados de la variable independiente.
Solución y=-1x-12
lim sec x Tiene como contestación ∞ (positivo Infinito) Los valores por la izquierda, cada vez más son bien negativos, hasta el infinito. Esto se confirmó con su gráfica. Por lo tanto, se llegó a la conclusión que el resultado es: - ∞ (negativo Infinito)
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